1. 用拉格朗日
這個定理是高數中比較基礎且比較難的問題。一般是證明題中運用得比較多。比如說證明一個不等式。需要用到公式中的，切記這個是滿足區間中的任意數，要正確理解任意的含義。 舉一個證明的列子，書上也出現過的。證明（b-a）/b<lnb-lna<(b-a)/a要正確證明這個題，要先構造一個函數f(x)=lnx,然后運用拉格朗日中值定理。
2. 用拉格朗日中值定理證明柯西中值定理
如果函數f(x)及F(x)滿足：
(1)在閉區間[a，b]上連續；
(2)在開區間(a，b)內可導；
(3)對任一x∈(a，b)，F'(x)≠0，
那么在(a，b)內至少有一點ζ，使等式
[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ζ)/F'(ζ)成立。
柯西簡潔而嚴格地證明了微積分學基本定理即牛頓－萊布尼茨公式。他利用定積分嚴格證明了帶余項的泰勒公式，還用微分與積分中值定理表示曲邊梯形的面積，推導了平面曲線之間圖形的面積、曲面面積和立體體積的公式。
3. 用拉格朗日中值定理證明不等式
輔助函數法：
已知 在 上連續，在開區間 內可導，
構造輔助函數
可得又因為 在 上連續，在開區間 內可導，
所以根據羅爾定理可得必有一點 使得
由此可得
變形得
定理證畢。
4. 用拉格朗日中值定理證明a-b/a左=AB+A非B+AB非=AB+AB+A非B+AB非=（AB+A非B）+（AB+AB非）=（A+A非）B+（B+B非）A=B+A=右證畢
5. 用拉格朗日中值定理證明e^x>ex
證明如下：如果函數f(x)在（a,b）上可導,[a,b]上連續,則必有一ξ∈[a,b]使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)示意圖令f(x)為y,所以該公式可寫成△y=f'(x+θ△x)*△x (0
6. 用拉格朗日定理證明a-b/a
拉格朗日定理存在于多個學科領域中，分別為：流體力學中的拉格朗日定理；微積分中的拉格朗日定理；數論中的拉格朗日定理；群論中的拉格朗日定理。
正壓理想流體在質量力有勢的情況下，如果初始時刻某部分流體內無渦，則在此之前或以后的任何時刻中這部分流體皆為無渦。以某一起始時刻每個質點的坐標位置（a、b、c），作為該質點的標志。 如果在一個正整數的因數分解式中，沒有一個數有形式如4k+3的質數次方，該正整數可以表示成兩個平方數之和。
7. 用拉格朗日中值定理求極限
1、打開matlab軟件，如圖中所示。
2、打開后如下。
3、清空我們的界面和工作空間：clear; %清空工作空間，clc; %清空工作界面。
4、定義一個符號變量，syms x;。
5、定義一個函數，比如：y=(1-exp(1/x))/(x+exp(1/x))。
6、求解極限值，輸入一下指令，lim_y=limit(y,x,0,'right')。
7、查看我們的結果，ezplot(y2,[-4,4]),grid on,title('y=(1-exp(1/x))/(x+exp(1/x))')；。
8、如圖，這是我們的解圖。
8. 用拉格朗日乘數法求極值如何判斷是極大值
拉格朗日乘數原理（即拉格朗日乘數法）由用來解決有約束極值的一種方法。
有約束極值：舉例說明，函數 z=x^2+y^2 的極小值在x=y=0處取得，且其值為零。如果加上約束條件 x+y-1=0,那么在要求z的極小值的問題就叫做有約束極值問題。
上述問題可以通過消元來解決，例如消去x，則變成
z=(y-1)^2+y^2
則容易求解。
但如果約束條件是(x+1)^2+(y-1)^2-5=0,此時消元將會很繁，則須用拉格朗日乘數法，過程如下：
令
f=x^2+y^2+k*((y-1)^2+y^2)
令
f對x的偏導=0
f對y的偏導=0
f對k的偏導=0
解上述三個方程，即可得到可讓z取到極小值的x,y值。
拉格朗日乘數原理在工程中有廣泛的應用，以上只簡單地舉一例，更復雜的情況（多元函數，多限制條件）可參閱高等數學教材。
9. 用拉格朗日乘子法計算在兩個等式約束條件
1、如果x>y，那么yy；（對稱性)；
2、如果x>y，y>z；那么x>z；（傳遞性）；
3、如果x>y，而z為任意實數或整式，那么x+z>y+z,即不等式兩邊同時加或減去同一個整式，不等號方向不變；
4、如果x>y，z>0，那么xz>yz ,即不等式兩邊同時乘以（或除以）同一個大于0的整式，不等號方向不變；
5、如果x>y，z<0，那么xz
6、如果x>y，m>n，那么x+m>y+n；
7、如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn；
8、如果x>y>0，那么x的n次冪>y的n次冪（n為正數)，x的n次冪
10. 用拉格朗日方程法不能進行阻尼振動系統的建模
當計算一些數值比較大的計算題時，可以用拉格朗日乘數法
左=AB+A非B+AB非=AB+AB+A非B+AB非=（AB+A非B）+（AB+AB非）=（A+A非）B+（B+B非）A=B+A=右證畢
5. 用拉格朗日中值定理證明e^x>ex
證明如下：如果函數f(x)在（a,b）上可導,[a,b]上連續,則必有一ξ∈[a,b]使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)示意圖令f(x)為y,所以該公式可寫成△y=f'(x+θ△x)*△x (0
6. 用拉格朗日定理證明a-b/a
拉格朗日定理存在于多個學科領域中，分別為：流體力學中的拉格朗日定理；微積分中的拉格朗日定理；數論中的拉格朗日定理；群論中的拉格朗日定理。
正壓理想流體在質量力有勢的情況下，如果初始時刻某部分流體內無渦，則在此之前或以后的任何時刻中這部分流體皆為無渦。以某一起始時刻每個質點的坐標位置（a、b、c），作為該質點的標志。 如果在一個正整數的因數分解式中，沒有一個數有形式如4k+3的質數次方，該正整數可以表示成兩個平方數之和。
7. 用拉格朗日中值定理求極限
1、打開matlab軟件，如圖中所示。
2、打開后如下。
3、清空我們的界面和工作空間：clear; %清空工作空間，clc; %清空工作界面。
4、定義一個符號變量，syms x;。
5、定義一個函數，比如：y=(1-exp(1/x))/(x+exp(1/x))。
6、求解極限值，輸入一下指令，lim_y=limit(y,x,0,'right')。
7、查看我們的結果，ezplot(y2,[-4,4]),grid on,title('y=(1-exp(1/x))/(x+exp(1/x))')；。
8、如圖，這是我們的解圖。
8. 用拉格朗日乘數法求極值如何判斷是極大值
拉格朗日乘數原理（即拉格朗日乘數法）由用來解決有約束極值的一種方法。
有約束極值：舉例說明，函數 z=x^2+y^2 的極小值在x=y=0處取得，且其值為零。如果加上約束條件 x+y-1=0,那么在要求z的極小值的問題就叫做有約束極值問題。
上述問題可以通過消元來解決，例如消去x，則變成
z=(y-1)^2+y^2
則容易求解。
但如果約束條件是(x+1)^2+(y-1)^2-5=0,此時消元將會很繁，則須用拉格朗日乘數法，過程如下：
令
f=x^2+y^2+k*((y-1)^2+y^2)
令
f對x的偏導=0
f對y的偏導=0
f對k的偏導=0
解上述三個方程，即可得到可讓z取到極小值的x,y值。
拉格朗日乘數原理在工程中有廣泛的應用，以上只簡單地舉一例，更復雜的情況（多元函數，多限制條件）可參閱高等數學教材。
9. 用拉格朗日乘子法計算在兩個等式約束條件
1、如果x>y，那么yy；（對稱性)；
2、如果x>y，y>z；那么x>z；（傳遞性）；
3、如果x>y，而z為任意實數或整式，那么x+z>y+z,即不等式兩邊同時加或減去同一個整式，不等號方向不變；
4、如果x>y，z>0，那么xz>yz ,即不等式兩邊同時乘以（或除以）同一個大于0的整式，不等號方向不變；
5、如果x>y，z<0，那么xz
6、如果x>y，m>n，那么x+m>y+n；
7、如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn；
8、如果x>y>0，那么x的n次冪>y的n次冪（n為正數)，x的n次冪
10. 用拉格朗日方程法不能進行阻尼振動系統的建模
當計算一些數值比較大的計算題時，可以用拉格朗日乘數法